GMAT/GREの数学prepについて補足させて頂きます。
数学は英語と違ってマラソン的要素が少ない、という点にdisagreeな方はほとんど居ないと思います。同じ塾や学校へ通っていてもとんでもなく個人差が現れます。〇〇の参考書を取り組めば良い、という大雑把なアドバイスにfollowすると命取りになりかねませんので、本年度受験生の為に早い段階で具体的に道標を残しておきましょう。
まず前提として大変失礼ですがこれをお読みのblog readerの方、具体的にはGMAT/GREのmathの試験本番で時間が余らない方達は世間的には数学はあまりできない、というgroupに属します。
GMAT/GREの数学の難易度は高くはないですが短期間で高得点を狙うとなるとそれ相応に時間がかかります。〇〇の参考書を〇〇回やれば合格できる、というのは数学的センスに優れていると言われている方達には当てはまりますがGMAT/GREでprepに時間を割かなければいけない方達はextra careが必要になりますので絶対に漠然と大量に演習を進めないでください。塾や予備校へ行き問題の解説を聞くのもNGです。それで数学ができるようになるのはセンスがある方達です。
Don’ts
Math prepで行ってはいけないリストを順番にlectureします。
① 公式の丸暗記
数学を勉強する上で絶対に行ってはいけないことの筆頭は覚える、という事です。
GMAT/GRE受験生の、特に数学が苦手な方達は〇〇や〇〇を取り組む方が多いと思います。生徒から見せてもらったことがありますが “公式”のようなものが大量に登場します。こんなにたくさん覚えられません。と実際に相談を受けることがなんどもありますが数学的知識を覚えてはいけません。原則全ての知識を覚えないように、とお伝えしておきます。数学が苦手だった方、スコアが伸びない方は知識や公式に始まり解き方まで覚えようとします。
解き方を含めた数学的知識を覚えると何故悪いのでしょうか？
東京大学数学入試問題と灘中学校算数入試問題では圧倒的に東大数学の方がキツイです。理由は？と言うと、中学入試では定理/公式のような数学的道具はほとんど使うことなく問題は解けてしまいます。一方東大数学の方が数学的な道具を多用します。ベクトル/行列/微積等で様々な一種数学的知識を利用しながら分析をかけていくことになります。
数学的な一種公式/知識/数学的解法を増やせば増やすほど手元の道具が増えていくことになります。道具を増やせば増やすほどこれらを組み合わせて利用することが求められる結果になるのですが、数が多ければappropriate toolのpick upが困難になりますので数学が苦手な場合極力暗記された公式や知識等は少なくした方が圧倒的に有利に戦えます。更に悪いことに暗記された道具を使いこなすことはできません。例えば
$$y=\sqrt{x}$$
と関数設定されるとxは0以上になります。これをルートの中は正になるからだ、と暗記してしまうと
$$y=\sqrt[3]{x}$$
の場合も同様にxが0以上と勘違いをtriggerします。そして本番間違います。知っている/知らないでは本番対応できません。これは何故ルート内はマイナスにならないのか？と理解をしていれば回避することは可能です。我々でも初見問題が大量に出題されますので暗記すればするほど初見問題を落とすことになるので高得点は望めません。
② テクニックで切り抜ける
次のNG項目としてはテクニックを学ぶ、ですね。
あらゆる留学試験で大流行しているテクニック理論ですがこれはもう全部がアウトです。
GMAT/GREで言えば例えば選択肢の答えをplug inすることによって答えを求めるなどですね。
何故ダメなのでしょう？例えば$$y=x^2+x+3$$が最大になる時のxの値は次のうちどれか？
という問題が出題されるとします。GMATもGREも解答の選択肢が手元にありますので順番にa) b) c) d)…と手元の答えを代入していけば答え自体は求まります。
しかし仮に手元の答えが代入できない問題、例えば$$y=x^2+x+3$$の最小値は次のうちどれか？となると代入作戦は使えません。代入作戦が取れなくなった瞬間にそれらの問題をボコボコ落とすことになるので本番大量失点を招きます。問題が解けないのは何かが自分に欠けているからです。勉強は謙虚に行いましょう。
③ 時間制限
時間を測って問題を解くこと、です。
GMAT/GREの問題演習をされている方の中で練習中から時間を測って訓練をされている方がいますがこれもNGです。
まずは問題がほぼ100%正確に解けるように訓練を積んでください。20分掛けても解けないとするとそれを3分以内で、と数多くこなしたところで数学はできるようにはなりません。英語も例えばbeginnerの方がreading 1 passage 30 minかかってしまうものを無理やり時間を測って5分で読む、というtrainingを積んでも変なクセがつくだけで読めるようにはなりませんね。数学の場合も同様に問題を解くspeedを意識的にあげる事は出来ません。実力が高くなれば自然と解答speedも上がりますので練習中は1問あたりにしっかりと時間を投下させて演習を積みましょう。受験直前にはtime managementは重要な要素になるのかもしれませんが、練習中はとにかく答えを正しい方法で導けるようにすることにfocusしてください。
④ 解答学習法
#3と若干被りますが解けない度に単純に解答をみて効率よく勉強しようとする、ですね。
解答を見て学習しなければいけない初期のphaseは存在します。存在はするのですが一通り最低限基礎学習を終えた段階で、分からなければ解説を見る/塾や予備校等の授業にattendしてlectureを受ける、と学習を重ねてもmathはできるようにはなりません。これで成績がぐんぐん伸びるのであれば塾に通っている世間の中学ー大学受験生達はみなさん数学ができるはずですが、残念ながらごく一部の数学的センスが高い人を除き、多くの人はこの手法で失敗しています。ここで説明をしている赤い部分に該当する、分析をする事を反復しなければいけませんので単純に分からない⇨解答を見て理解する。という単純processを繰り返し行ったところで本番初見問題に遭遇しては失点をして不合格になる、というサイクルに世間の受験生達は陥っています。GMAT/GREの受験者もこの点は同様です。一度答えを見てしまったその瞬間に一種解答を覚える、ような状況にあてはまってしまいますのでご注意を。間違えて解答を見てしまった問題は時間を置いて必ずなんども解き直しをしてよく復習するようにしてくださいね。
Do’s
では数学のprep方法です。基本的には上記の４つのlistとひっくり返りますが具体的にlectureします。
まず一つ目が暗記をしないでください。
何を暗記してはいけないですか？一部GMAT/GREであれば暗記をしても点数をとる上では問題ない、という項目は存在しますが原則全て、あらゆることを覚えてはいけません。
例えば一種公式や事実として説明されているものも、何故そのような公式が成り立つのか。という背景概念を必ず理解してください。繰り返しになりますが原則全てのmath知識に対してです。
単に知識として覚えているものは利用することが困難、というのが１つ目の理由です。どの局面において何故そのような知識を利用するのか、という決断を問題を見たその瞬間から連続して行って行くことになりますが単純に覚えてしまっている数学的知識はどのような局面において利用することが良いのか？決断をすることができなくなります。単に計算方法や事実を知っているだけなので仕方ありませんね。これをお読みの方で本当に数学が苦手な方は確率や場合の数で利用するPやCといった2択の選択すら正しく行えません。これはP/Cという一種公式がどのようなことを意味しているのか、という公式に対する理解が浅いことが理由です。
2点目の理由です。
例えば上記のルートのお話の場合ルートの中は必ず0以上だ。という事は事実ですが何故でしょうか？
$$\sqrt{-a}=b$$という式が成り立つとして両辺を２乗して見ましょう。そうすると$$-a=b^2$$となってしまい左辺は負である一方右辺は２乗されている為必ず正になりますね。したがって等式が成り立たなくなる為ルートの中は0以上という事は確かに数学的知識としては正しいことがわかります。では
$$\sqrt[3]{-1}=b$$の場合はどうでしょうか？同様に両辺を３乗して見ると$$-1=b^3$$となりbが-1であればこれは成り立つことが分かりますね。
数学は形を変えられて分析をかけることを要求されますが、知識そのもではなくその知識や公式が成り立つ背景が問題に利用されることが多々あります。このような初見問題は何故そのようなことが言えるのか？という背景をしっかりと理解していない限りは解くことができません。
去年の売り上げが124円/今年の売り上げは432円。何%増えましたか？
これも{(432-124)/124}x100%と求まりますがこの解法を公式的に利用してはいけません。なぜそのようにすれば求められるのか、ということを必ず説明できる状況にしてください。原則全ての解法に対してです。
もし分からなければ例えば去年の売り上げが100円で今年300円だったら200%増えたな。どのように計算されているのかな？と裏で簡略化させた状況から分析をかけた上でそれと同じ計算方法を124円432円の問題へapplyさせましょう。
198から345までの整数の数は？
1から10までの数の場合10-1で9個ではなく、それに1を足すのだな。何故かな？と考察を立てた上で345-198+1と求めるようにしましょう。こうすると完全に暗記化を防ぐことができるだけでなく何故そのようにすれば答えがもとまるのか、という理解が向上しますので公式を単純に当てはめることをしなければ徐々に理解が深まりスコアは伸びていくでしょう。
私の場合覚えていないのですか？と言われると覚えているような状況にあります。345-198+1という解法は何も考えずに引き出すことができますが、解答方法を暗記したのではなく上記の裏で分析をかけてapplyする、ということを繰り返しした結果覚えてしまった、という状況にありますので丸暗記作戦を取っている訳ではありません。
もしある数学的知識/解答方法が何故成り立つのか、何故それでもとまるのか、という説明ができない項目がある場合、暗記をして良いものかどうか第３者にcheckを受けた方が良いでしょう。
繰り返しになりますが説明ができないものは全て黒に近いグレーなので覚えてはいけませんよ！
2点目に行きましょう。数学を真面目に勉強してください。
GMAT/GRE参考書のようなものは実力が不十分な人たち（48が取れない場合）は取り組まなくて良いでしょう。そもそも基礎が根本的に不足している可能性があります。
例えば数列のシグマって知らなくても答えは求まりますよね？
２次関数のDって実際に使うこと無いですよね？勉強しなくても良いですか？
という質問を受けることがあります。
それに対するAnswerは勉強をしてください。
GMATで48以上を安定的に取っている方で数列のシグマを最低限扱えない人の割合はかなり少ないと思います。50以上ではおそらく居ないでしょう。これを書いている2020/1/31日現在において実際にDやシグマを利用しないと解けない問題、というものは出題されていないと思います。特にGMATは社会人向けに作成されているので、数学的公式要素が絡んでくる問題は極力排除されています。
しかし残念ながら例えば数列シグマ、二次関数D etc…等の知識は間接的に我々は利用します。なんでそういう風に考えるの？というprocessを考察すると例えばパッと問題を見たときに1/kのシグマは求めることができないから一見数列の問題に見えても数列的なapproachは取らないのでは？等各種方針を定める際に間接的にですが利用しています。２次関数のDとはそもそもなんぞや？という理解が無いということは２次関数に対する理解が浅い、ということの裏返しになりますのでコスパばかりを求めずに謙虚に学習を進めるようにしてくださいね。重要なのはテクニックではなく基礎力です。
３つ目です。
1点目と2点目を抑えたその後のstageのお話です。
まずは最低限の道具を暗記を回避した上で揃えましょう。指数の計算方法、直線と曲線の関数、P/C、絶対値、数列、合同式etc…具体的に上げ始めるとキリがないのでここでは割愛しますが最低限理解をした上で数学の計算方法等の道具を揃えてください。流石に指数の計算方法を自分で編み出す、ということは数学者になりたいわけではないと思いますので非効率的かと思います。
GMAT48以上、できれば50/51を狙いに行きたい場合初見で見かける問題を素早く潰せるだけの能力を養う必要性があります。どのようにprepを進めれば効率よくmath powerを養えるでしょうか？この方法がbestかどうかの確証はありません。ありませんがこの方法で私はmath powerを短期的に大きく伸ばしました。
徹底的に暗記していきます。
オイオイ、散々暗記するなと言っておいて今更何を？と言われるかもしれませんが私が暗記していったのは数学知識や解答方法ではありません。
ある程度勉強を進めていくと、問題が解けなかった際にそんな考え方は知らなかった。ということは原則起きません数学的な考え方は非常に限られており特にGMATの場合GREよりも独特的な一種数学的知識を利用するような問題は出題されない傾向にあります（学生ではなく社会人対象ですからね）。
基礎学習を終えた段階で解けない問題に遭遇した場合、なぜ解けなかったのか？という分析を自分なりによく行うことが必須です。このなぜ解けなかったのか？の根本的な原因を徹底的に暗記していきました。当時数学が苦手だった私はベクトル、確率、微積etc…で自分の苦手としているアプローチ方法及びどのような局面でどのような目的でそれらを利用するのか？ということを丁寧にノートにまとめていきそれらを徹底的に暗記していきました。手が止まった時に取るべき手段を単元毎にノートにまとめていった、ということです。
数学の問題は、特にGMAT/GREでは解き方自体は非常に限定的なため自分の悪いクセを明確にしていくこと。その上で本質的に同じタイプの問題を複数回間違えないように手が止まるたびに自分の洗い出されている悪い点を見直すことで何度も同タイプの問題を間違える頻度は劇的に下げられるでしょう。
着眼すべきポイントや数学的分析の仕方にはコツがあります。できる人たちは直感的に行いますが、よく考えてみるとどのような点に気をつけているのか？なぜそのような考え方をするのか？という事は多くの問題で説明ができます。
数学が苦手な人たちはこの解答を導くprocessや着眼点に問題を抱える、というのが基礎を終えた次の問題点になると思いますのでこれらのweaknessを徹底的に暗記して意識的に矯正していくとmath powerは伸びていくと思います。
最後に
数学の根本的な学習に関するお話はこれで最後にさせて頂きます。最後にmathが苦手な方へメッセージです。
数学はMBAでは非常に重要視されています。そもそも数学は何故そうなるのか？と言う分析を手元のdataを元に行っていくことになります。非常に理論的な学問です。
AだからBが言え、BだからCよってAであればyの最大値はCになる。といった具合ですね。
例えば会社を経営していて売り上げが上がらない時。その原因を手元のdataを元に分析することになると思います。AをすればBの効果が出て結果Cになり売り上げが上がるだろう、といった具合でしょうかね。
手元のdataを元に考察をたてて結果を予想する、と言う行為は実生活でもよく行う事だと思います。折角の機会ですので前向きに一生懸命学習されてみると良いでしょう。
数学は苦手だ、と思ってここまで来られたかと思いますが上記の内容を読んで見てdo not listsを行っていて、do listsの事は殆ど行っていなかったのでは？と推測します。単に数学への学習方法が間違っていた、おそらく面倒/数学がつまらないから楽をして暗記を使用、等の何らかの理由で真面目に勉強をされなかったのが原因かと思います。
数学的センスがあるかどうか、は真面目に長期間勉強されて初めてわかるもので、実際に数学的資質をそなえていないかどうかは実際のところわかっていたつもりでわかっていない人が多いと思います。(私の場合自分には数学的センスは無い、という事が勉強をした上で理解できたのでmath worldへは身を置かないようにしようと学生時代に感じました）。
正しくまとまった時間を投下すれば数学の方は何とかなります。これはguaranteeできますので可能な限り早めに、全体像を描きながらprepを進めるようにしてくださいね。