GMAT/GRE: Math Lecture Advanced

GMAT/GRE

Target 51 or 170

整数

関数への応用

合同式、余りの表現を関数へapplyさせることが可能です。これも数式表現のpowerに該当します。必須事項です。例えばよく分からないf(x)という関数のxに2を放り込んだら割り切れちゃった!という情報が与えられた時にこれを数式表現できますか?

答えはf(x)=(x-2)g(x)と表現できます。f(x)がどのような関数か与えられていませんのでもちろんg(x)はよく分からない関数をさします。こうすることでf(2)=0が成り立ちますね?つまりf(2)=0はf(x)は(x-2)で割り切れる、と同意義になりますが如何でしょう?

もう一つ発展系を追加します。多項式からなるよく分からないf(x)という関数があるとします。これを$$x^2+2x-1$$で割ると割り切れませんでした!という情報が与えられた際の数式表現は?答えは

$$f(x)=(x^2+2x-1)g(x)+ax+b$$と表せます。ポイントは余りのax+bの数式表現になると思います。なぜax+bと余りを設定することができるのでしょうか?割っている数がxの2次式ですので余りが2次式以上になることはありえません。ある数を3で割ると余りが7になった!ということが起きないのと同様で、余りの字数が2次以上の場合は更に割ることができますので、必ず余りが1次式以下になる、という点がポイントです。一般化させるとn次式の式で、ある関数を割ると余りは必ずn-1次以下の関数になります。これらは数学の世界では常識で51/170安定の方達は当たり前だよね?というレベルで操れる、はずです。

微分法

指数

不等式

Baseの値が0から1の間の時不等式の向きが入れ替わる、と言う説明はさせていただきましたが0未満の時どうなるか考察できますか?Baseの値が0未満だった場合、その値は振動します。例えば$$(-2)^x$$を考えてみましょう。x偶数の時,はx=2kと表せますのでこれを代入すると$$(-2)^{2k}=(-1)^{2k} \times 2^{2k}=2^{2k}$$ですのでkが大きくなれば、xが大きくなれば値はどんどん大きくなりますね。ではxが奇数の場合はどうなるでしょう?x=2k+1を代入すると$$(-2)^{2k+1}=(-1)^{2k+1} \times 2^{2k+1}=(-1) \times 2^{2k+1}$$となりますのでxが奇数の場合は指数の値はマイナス方向へ大きくなることがわかります。つまりxの値が大きくなればなるほどプラス方向およびマイナス方向に指数の値は発散してしまうことがわかります。
ついでBase=-1の時はどうでしょうか?

$$(-1)^x$$

この時はxが偶数の時はalways 1/奇数の時はalways-1になりますので1 or -1で指数の値は振動します。
最後に -1<base<0の時を考えてみましょう。

例えば(-0.5)^xと言う指数の値を考察してみましょう。xが偶数の時は(-0.5)^xの値はプラスになることが理解できると思います。ここでxの値を大きくしていくと(-0.5)^xの値はだんだん0に向かって小さくなっていく、とfactのみ書いてしまって理解できるでしょうか?baseが1未満の時は掛ければ掛けるほどそのあたいはどんどん小さくなっていきますね。
同様に(-0.5)^xのxが奇数の時、(-0.5)^xの値は負になり、xの値を大きくしていくと0に向かっていくことが理解できると思います。

Baseの値がマイナスの時は指数の値は随分と勝手が違い、指数の部分を大きくすると

Base=-1: 振動
Base<-1=発散
-1<Base<0 = 0に収束
する事は背景として理解しておくと良いでしょう。

指数の問題はbaseの値が1より大きいかどうか、マイナスかどうかで扱いが全く異なります。正答率が低い問題はこのような背景が狙われます。

例題28

-1<x<0を満たす時以下の大小関係を求めよ。

$$x^4, x^3, x^2, x$$

解答28

置換

指数の計算方法の最後が置換です。指数の置換自体はそれほど難しくはないと思いますが注意しなければいけないのはその領域です。例えば

$$4^x-2^{x+1}+1=0$$を解いてみます。指数系ですのでbaseを揃えればよくbaseの値を2で統一させます。ただし解いてみるとわかるのですが今回はbasic levelで紹介させていただいたbaseを揃えて指数を比べることによって求める、と言うことができません。したがって今回の場合は

$$(2^x)^2-2\times2^x+1=0 \\ 2^x=t$$

とx^2をtで置換すると1段目の式は

$$(2^x)^2-2\times2^x+1=t^2-2t+1=(t-1)^2=0 \\ t=1=2^x, x=0$$

と2^xをtと置換することで方程式を求めることが可能になります。これがちょこっと難しい指数計算の処理方法になります。注意点としては2^x=tと置き換えるとtの値に制限がかかります。y=2^xのgraphを書くとclearなのですがyの値 (tの値)はこのとき必ず0より大きくなります。xに-100/0/100等あらゆる数字を代入してもyが負になる事は無いでしょう(指数のgraphは素早く書けるように訓練されていなければいけませんが)例えば、t=-1 and 1と答えが現れた場合は、tの値は必ず正でなければならない為-1の答えは除外されます。

指数の問題の場合baseを揃えて処理するか/置換によって処理するかのどちらかになります。指数を置換することによってapproachをする場合は必ず置き換えた文字の領域に注意してください。

因数分解

因数分解は3乗まで扱えるようにしてください。

$$x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2-xy) \\ x^3-y^3=(x-y)(x^2+y^2+xy)$$は引き出せるようにしておきましょう。英単語等でたくさん暗記をしなければいけないと思うので暗記はされなくて良いと思います。私は暗記していません。
公式暗記ではなく上記2つの導き方のみ頭に入れておけば数年経っても引き出すことができます。

作り方としてはxとyの3乗を作り出さなければいけませんのでマイナスの場合プラスの場合共に$$(x+y)(x^2+y^2) \ and \ (x-y)(x^2+y^2)$$を思い浮かべます。これらを展開するとx and yのそれぞれ足す場合/引く場合の3乗を作り出すことがだきますね。ただし

$$x\times y^2 \ and \ y\times x^2$$

をかけ合せると不要な項が現れてしますためにそれぞれを足し引きでキャンセルさせるために+xy and -xyを用意すると理解しておきましょう(私の場合はこう頭に入っています)。

もう一点が混合typeですね。例えば

xy-2x-y+2を因数分解せよ、のように単なる因数分解ですが文字が複数現れると難易度が上がります。2文字以上のequationで因数分解を行わなければいけない場合、コツとしては一方をmainに据えて、もう一方を数字のように扱います。この際最も字数が少ない文字を中心に因数分解をすると勝率が上がります。今回はx and yどちらも一次の数式が与えられていますのでどちらを中心に因数分解を行っても問題はないでしょう。xを中心に式を整理すると

$$xy-2x-y+2=x(2y-2)-y+2=x(y-2)-(y-2)=(y-2)(x-1)$$

とxを中心に式整理を行い、その後再度式全体を共通項でくくることで完了します。

数列

等比数列

等比数列のシグマ公式を利用して解く問題はGMAT/GREでは出題されておりません。GREの方が数学色が強いため、遭遇率が高いのはGREですが出題された場合困るので一応載せておきます。等比数列an (a1 and r)においてその和は

$$\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } a_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$が成り立ちます。これは完全に暗記してしまってokです。a1からanまでの和が上記ですので例えばa1からa(n-1)までの和を考えるとrのn-1乗になります。

Sn

Snに纏わる知識です(knowledgeではないのですが…)。
Sn絡みの数列系統の問題で若干特殊なapproachをするものがSnとanをlinkさせる為の式ですかね。

$$S_1=a_1 \\ S_n-S_{n-1}=a_n$$

この二つも言われてみれば当たり前、かと思いますが出題されるとなかなか気付きにくかったりもします。Snはa1からanまでの和。Sn-1はa1からa(n-1)までの和ですのでSnからS(n-1)を引くとanが取り出せます。
Snとan絡みの問題が出題されたら意識を傾けると良いでしょう。ちなみにこれらも暗記はしないほうがbetterです。

有理化

ルート単元の派生になります。難しいわけではありませんが出題頻度が低くなります。

有理化ですが利用できる場面が非常に限定的で分母にルートが現れた場合に、因数分解を使いながら利用します。

有理化とは簡単に説明すると分母に現れるルートを解消するためのprocessです。例えば

$$\frac{1}{\sqrt{3}-2}$$

と言う値を考えて見ましょう。分母のルートを取り除かなければならない場合、今まであれば2乗されたかと思いますが今回はそういう訳にはいきませんね。2乗しても分母の-1の部分が邪魔をしますのでルートが残ってしまいます。この場合

$$\frac{1}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}$$

と分母と分子に√3+1を掛けることで分母のルートを取り払います。これは分母を計算すると

$$\frac{1}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3})^2-1^2}=\frac{\sqrt{3}+1}{3-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

と計算できますのでルートを取り払うことができるワケです。分母にルートが現れて、単純に2乗してルートを取り払うことができない場合。

分母が√a+bの場合分子と分母に√a-bを
分母が√a-bの場合分子と分母に√a+bを(今回の例はこちらですね

それぞれ掛け合わせて分母のルートを取り払う作業を有理化と呼びますので抑えてください。このprocessは暗記して頂いて構いません。

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