文法はsensitiveかつ長くなりそうなのでこちらだけちょちょっと先に投げておきます。Vocaの補足ですかね。
ここで言うところのIdiom/語法系は例えばですが The idiomのようなwork outやThe 語法 (idiomと何が違うのかは私にはわかりませんが）allow to/prevent fromのようなものからちょっと文法よりの例えばIt goes without saying that…のようなものまで一種複数のblockで覚えなければいけないものを面倒なので全てidiom/語法と呼ぶことにしますね。
GMAT/SATのgrammar sectionで高得点を取りたい場合。最低限必要ですので覚えた方が良いでしょう。ただし覚えれば点数が伸びるわけではないので、時間がたっぷりある方を除いて演習をする過程で拾って覚えていけば十分です。全く重要ではありませんので。
TOEFL/IELTS/GRE 等で必要になるかどうか？ですがはっきり言って不要です。
覚えて無駄になることはないので止めはしませんが覚えても効果は非常に限定的で薄いので覚える必要性はありません。
現役の大学受験playerだった頃は覚えていました。それこそtargetなんかでwork outは？と聞かれたら5個（そんなにないかな？）くらい暗唱できましたが今はできません。これ今振り返ってみると時間の無駄でしたね。
えーっと私を含めてほとんどの方は駆け出しの頃語法系らしきものは暗記されていたと思いますがこれ必要なのはテストで要求されている英語のレベルが低い場合（高校/大学受験等）且つ直接的に点数に響く場合のみですね。
これReadingアドバスの際に詳細を書きますがいわゆる暗記した上でその暗記されたパターンをはめ込むことによって問題を解決する。と言うスタンスって英語に限らず数学でもBioでも私は専門外ですが文系科目歴史等でも通用するのはレベルが低い場合のみで、求められるレベルが高くなればなるほどパターン暗記strategyは通用しなくなります。
そもそもこの暗記パターンstrategyってAIが取る戦略になると思いますがいわゆる優秀な人間が問題を解く場合とは全く異なった回路を辿りますので人間がAIに完全に食われることはAIがパターン認識手法を取る限りはないのでは…?と思ったりします（完全にoff topicですが）。
話を戻すと何でidiom系不要なの？と言われると一つ目がidiom系統ってそのうち大半が覚えなくても根本的に前置詞等の意味さえ理解していれば自然と処理できるものがかなり大部分を占めているため、AI strategyっぽく暗記するのではなく人間らしく理解してしまった方が圧倒的に万能です。まぁ例えばですが上で出した allow toなんかもallowはtoを伴う、なんて覚えていなくてokですよ。だってネットによって情報が素早く手に入るようになった。なんて文章考えると
Internet has allows us
この後素早く調べること、と言う意味を突っ込まなければいけませんので覚えてなくても（ある程度英語ができれば）自然とto search information quicklyが入りますよね。自然と。
….に賛成するなのでagreeは withを伴いますがTOEFL 100/IELTS 7程度を狙うのであれば agree toと書いてしまっても十分取得は可能ですよ。日本の英語教育のように非常に細かい精密性を追求されるよりも、TOEFL/IELTSでhigh scoreを狙う上でも留学後のことを考えても穴は空いているがcommunicationがしっかりと取れる、と言う状況を作る方がより重要なので特にTOEFL100未満/IELTS 7未満の方はこのような細かいidiomは吹っ飛ばしてokです。これが一つ目の理由。
ついで2個目の理由ですが細かいidiomは覚えなくても時期に感覚として入ってきます。TOEFL/IELTS以上の試験のレベルになってくると膨大な学習時間が要求されることが殆どです。
英語力を高めるためには絶対的にとんでもない量を要求されますので（私なんかタウンページ何百冊程度は程度はいってるでしょうね）大量に読んで/聞いて…と行なっているうちにagreeは当然withだよね。と言うような一種英語的な感覚が養われてきます。結果的にわざわざ暗記しなくても問題ありません。
3つめですがこちらで説明しましたがidiom/語法なんぞ全体の何%含まれています？暗記していなければ理解が到底できないidiom君って1%ありますかね？内容を#1でも説明しましたが完璧を求めることは英語学習において（私は）非常に非効率だと思いますし、英語マニアになりたいわけではなく留学後/試験のスコア対策を目的にするのであればそのような細部は求められてはいませんので覚えなくて良いですよ。
4つ目。暗記しているものって使い物になりません。駆け出しの頃はよくあると思いますが英単語帳では単語覚えたのに文章の中に混ぜられたらわからなくなった、なんてことがおきます。これ何で？と言われると覚えているのと読み書き等の中で実用的に扱えるのとでは習熟度に大きな差があるからでしょう。ガチ暗記のAI strategyって人間が絶対に不向きなのは何らかの型等で覚えていると当てはめる or 識別するまでにlagがかなりかかるはずです。これ仮に意味がわかったとしても暗記して処理している限りReadingは読むのが遅くなって時間内には読み終えられませんしListeningに至っては暗記されているphraseをrecognizeしたその瞬間に他の内容へ移行しているはずですのでbehindして内容についていけなくなること間違いありません。暗記で対応できるのはレベルが低い時のみで、TOEFL/IELTS以上の試験ではかなりnativeのような感覚で読み/聞かないと時間内に読み終える/理解することはできません。最終的に暗記するのではなく何度も繰り返し目にする中で感覚的に身につけて行く、という作業が必要になりますのでこれidiomで行う場合は（重要ではない上に）相当量の努力をようすることになりますので一般的には不要です。
最後にですがTOEFL/IELTS等のスコアメイクを中心に考えてはおらず、趣味として英語を学習されたい方は覚えても良いかもしれませんね。ただしidiom系を覚えなければならない = 英語に触れている機会が少ないことになりますので英語力を高めていけば自然と解消されるでしょう。
もちろんoutputで利用したい場合話が少し違いますので表現等は覚えて使って行く必要性は確かにありますが、TOEFL/IELTSではやはり不要です。極論ですが
警察を現場は行きますが、そこが見つけた問題は氷山の一角だ。
なんて覚えてnativeっぽい表現を混ぜたところで正しく英語が操ればければ違和感しかありませんからね。正しく英語が操れるのであればTOEFL 100/IELTS 7程度は取れるはずなので結論idiomは国内受験 or 趣味学習以外では不要かな？と思います。
学習されている方を非難するつもりはありませんし、全くもって完全に無駄だとは思いませんのでその点誤解なく。