Application materialの1つになります。Application Essayと一括りにされがちですが求められているEssayにはそもそも２種類存在します。Application Essayは重要かどうか？ですが重要です。
例えばHarvard MBAのページでは
The first thing you should know about the essay is that we consider all the elements of the application to get to know you and never look at just one piece by itself. The essay isn’t more or less important than other elements of the application. If you’ve been stressed about the essay, hopefully this releases a little anxiety.
(https://www.hbs.edu/mba/admissions/pages/from-the-admissions-director.aspx?post=essay-app-tips-summer-series)
と明言しています。大学学部留学の場合も同様にSAT/GPAよりは若干劣りますが合否判定に強く用いられています。理由は後述しますが、より重要になるEssayはPersonal Statement (PS)であってStatement of Purpose(SOP)はPSよりは重要視されない傾向にあります（情報源はdepartment headを務める私のmentorです）。勿論school、schoolの中でも実際に出願者をjudgeするprofessor次第になりますので手を抜かずにprepはしましょう。Exam prepとは異なりessayは投資時間に対してreturnが非常に良いmaterialになりますので時間に余裕を持ってprepすべきです。
高額な料金を払ってCounselorを使っているにも関わらずそもそも求められているものと異なるessayをprepされている方が散見されますので必ず出願するprogramが求めているものを正確に把握した上で着手するようにしてください。
What is Statement of Purpose?
Research系programに留学される場合高い確率でSOPの提出を求められます。大学院留学者以外は関係ありませんので読み飛ばしてください。大学院にも大きく分けてresearch focused programかどうかで大きく分かれます。例えばBiologyで留学をされる場合研究focusになるかと思います。この場合通常programの完了にthesis completion（日本で言うところの卒論のようなもの）を求められることになります。
SOPの提出を求められている場合かなり具体的なResearch interestの説明を求められる事が多いです。具体的にどの分野でどのような研究を行いたいか、の説明を求められる事が殆どです。多くの場合PSとの区別を明確に行うため 基本的に“professional” or “academic” 等clearに明示されます。
Yale university LLM program
（https://law.yale.edu/studying-law-yale/degree-programs/graduate-programs/llm-program/llm-admission）
—In no more than 1000 words, please explain your
scholarly research, what prompts your focus on the issues you discuss, and how
you have explored them thus far. Critical discussion of specific articles or
books that have influenced the formation of your research agenda is particularly
welcome.
Oxford University Computer Science
(https://www.cs.ox.ac.uk/admissions/graduate/dphil-computer-science/statement.html)
You should submit a research statement of about two pages describing the general area of research in which you are interested. You should summarise the research in this area that you are aware of, referring to existing papers where appropriate. You could also describe a research problem and your initial ideas on research work towards solving this or open problems. You should include your relevant skills and experience, your reasons for applying to Oxford, and list some of the principal reasons why you consider yourself a strong applicant.
どちらの場合も具体的な学術的研究内容及びなぜその研究にfocusをしたいのか、という説明を求められています。この他にも具体的なprofessional /academic skill/accomplishmentの描写を求められる場合もありますのでかなりテクニカルな内容になる傾向があります。クラスを履修するだけでなく、特定教授の元で具体的な研究をしに行く事がprogramの目的になりますので当然といえば当然です。
What is Personal Statement?
大学院留学でもnon-research based programの場合求められるのは原則PSです。様々な名称で呼ばれることになりますが大学学部進学者のcommon applicationやMPP/MBA Essayなどがこれに属します（多くのJapanese LLM留学者もこちらに該当するかと思います）。PSの主な目的ですがこれはWho you areの説明を求められます。PSの場合academic/professionalといったSOPよりの内容は中心に据えない事が圧倒的に多いです。また、SOPとは異なり学校やprogramによりかなりessayのtopicがdiverseになる傾向があります。例えば
Harvard MPP Kennedy Schoolの場合
Describe an event or experience in which you exercised a significant decision-making, management, or leadership role.
Stanford MBAの場合
What matters most to you and why?
となっています。
どちらの場合もacademic/professionalの内容のdescriptionを求めてはいません。
同じLLM programでもUniversity of Chicagoの場合
All applicants are required to submit a 1-3 page personal statement (sometimes referred to as a letter of motivation). The personal statement should go beyond just the black and white already available to the committee in your transcripts and resume. This is your opportunity to tell the committee something about you that could not otherwise be known from your application materials.
とはっきりSOPではなくPSを求めていますのでProgramではなく学校によって変わりますのでご注意ください。皆さんが思っている以上にessayは書き手により恐ろしいほどにqualityに差が現れます。PSよりのessayの場合SAT/GMAT/GRE等と同等のfunctionを持ちますので優秀かどうかを測定されています。例えば上記のKennedy SchoolやStanford MBAの場合programへのmotivation等の描写はこのessayにおいては求められてはいません。
SOP/PSの区別
SOPやPSは出願先の学校により名称はかなりまちまちです。学校によってははっきりとSOP/PSの両方の提出を要求するprogramもある一方で、SOPとなっていてもPSの内容を要求していたりPSだがSOPとのhybrid contentsの提出を求められたりするため単純な呼称から機械的判断は行えませんが、pureなSOPを求めてくる場合明らかにその指示内容が硬いことが多いので（Yale/Oxfordのように）大きくconfusedされることは少ないでしょう。
情報元が私からのみの場合credibilityに欠けるかと思いますので下記のpageを参考にされると良いでしょう。
https://www.prepscholar.com/gre/blog/statement-of-purpose-vs-personal-statement/